\subsection{Physikalische Grundlagen}
F\"ur eine korrekte Simulation m\"ussen die zu Grunde liegenden physikalischen Gesetze beachtet werden. In \geant{} k\"onnen die verschiedenen Prozesse angegeben werden, die f\"ur die Simulation beachtet werden sollen. Um die Rechenzeit gering zu halten, werden aber nur die relevanten Prozesse angegeben. Ein Prozess, der z.B. wegen zu geringer Energie der verwendeten Teilchen gar nicht auftreten kann, wird weggelassen. %Darunter fallen bei der verwendeten Photonenenergie von 4,5\,MeV die Erzeugung von exotischen Teilchen, mit Ausnahme der Positronen.

Um die grundlegende Richtigkeit der Simulation beurteilen zu k\"onnen, kann das Abschw\"achungsgesetz herangezogen werden. Die Ergebnisse, die die Simulation produziert, sollten mit diesem \"ubereinstimmen.

Nachfolgend sind das Abschw\"achungsgesetz sowie die f\"ur die Simulation ber\"ucksichtigten Prozesse, sortiert nach den Teilchen welche diese ausl\"osen, aufgef\"uhrt.
Die Liste der Prozesse wurde von der \geant{}-Klasse \textit{G4EmStandardPhysics\_option3}, bis auf einige Ver\"anderungen, weitgehend \"ubernommen.

\subsubsection{Abschw\"achungsgesetz}
Beim Durchgang durch Materie wird Strahlung geschw\"acht. Eine kleine Schichtdicke $dx$ schw\"acht jede Intensit\"at $I$ um den gleichen Bruchteil.
\begin{equation}
\mbox{d}I = - \alpha I \mbox{d}x
\end{equation}
Durch Integration ergibt sich das Lambert-Beer-Bouguer-Gesetz
\begin{equation}
I(x) =I_0 e^{-\alpha x},
\end{equation}
mit $\alpha$ als Abschw\"achungskoeffizient. Dieser setzt sich aus den Abschw\"achungskoeffizienten der verschiedenen unten beschriebenen Prozesse zusammen. Da diese f\"ur unterschiedliche Photonenenergien unterschiedlich stark in die Berechnung mit eingehen, ist der Abschw\"achungskoeffizient von der Energie der Photonen abh\"angig.

Bei der Schw\"achung von \g-Strahlung im Patienten, welcher haupts\"achlich aus Wasser besteht, muss ber\"ucksichtigt werden, dass die Photonen nach und nach ihre Energie abgeben. Der Abschw\"achungskoeffizient \"andert sich also mit der durchlaufenen Schichtdicke. Wenn des Weiteren Inhomogenit\"aten des bestrahlten Mediums beachtet werden sollen, muss eine Abh\"angigkeit vom Ort betrachtet werden. Das Lambert-Beer-Bouguer-Gesetz lautet dann:
\begin{equation}
I(x) =I_0 \exp\left(-\int{\alpha(x,E) \mbox{d}x}\right).
\end{equation}

F\"ur Wasser hat der Abschw\"achungskoeffizient bei einer Photonenenergie von 4,5\,MeV einen Wert von etwa 3,2 $\mbox{m}^{-1}$. F\"ur niedrigere Energien nimmt der Abschw\"achungskoeffizient zu.\cite{StRad96}

\subsubsection{Photonen-Prozesse}
Im CT-Verfahren werden die Patienten mit $\g$-Strahlung bestrahlt. Die Prim\"arteilchen sind also energiereiche Photonen, der haupts\"achlich auftretende Prozess bei einer Energie von 4,5\,MeV ist die Compton-Streuung. Die Auflistung der Effekte ist nach der Wahrscheinlichkeit des Auftretens in Abh\"angigkeit der Energie aufsteigend sortiert.


\begin{description}

\item[Photoelektrischer Effekt] L\"osen der Bindung eines Elektrons durch Absorption eines Photons, welches mindestens die Bindungsenergie des Elektrons besitzt. Bei der Photoionisation (Ionisieren von Atomen) ist der Wirkungsquerschnitt von der Photonenenergie und der Ordnungszahl abh\"angig:

\begin{equation}
\sigma_{Photoion} \propto Z^{5} \cdot E_{\gamma}^{-\frac{7}{2}}
\end{equation}

Materialien mit hoher Ordnungszahl (z.B. Blei mit $ Z = 82 $) absorbieren R\"ontgen- und Gammastrahlen besonders gut, weshalb man diese auch zum Abschirmen bei Strahlungstherapien einsetzt.


\item[Compton-Streuung] Vergr\"o\ss{}erung der Wellenl\"ange eines Photons bei der Streuung an einem geladenen Teilchen (z.B. Elektronen). Die Wellenl\"angen\"anderung $ \Delta \lambda $ h\"angt dabei nur von dem Streuwinkel $ \phi $ ab:

\begin{equation}
\Delta \lambda = \dfrac{h}{mc}(1-\cos\phi)
\end{equation}

\item[Paarbildung] Erzeugung eines Teilchen-Antiteilchen-Paares aus einem energiereichen Photon. Das Photon muss dabei eine Energie besitzen, die mindestens der Summe der Ruheenergien der zu erzeugenden Teilchen entspricht. Der Vorgang kann aufgrund der Impulserhaltung bei niedrigen Energien nur in der N\"ahe eines dritten Partners (meist eines Kerns) stattfinden. F\"ur ein Elektron-Positron-Paar berechnet sich die Schwellenenergie wie folgt:

\begin{equation}
E_{\gamma,min} = 2 \cdot m_{e} c^{2} \left(1 + \dfrac{m_{e}}{M_{Kern}}\right)
\approx 1,022\,\textnormal{MeV}
\end{equation}

mit $ \dfrac{m_{e}}{M_{Kern}} \ll 1 $. Ohne Sto\ss{}partner erh\"oht sich die Schwellenenergie auf $4 m_e c^2$.


\item[Rayleighstreuung] Der Vollst\"andigkeit halber sei hier noch die Rayleighstreuung erw\"ahnt. Elektromagnetische Wellen werden an Teilchen, deren Durchmesser klein gegen\"uber der Wellenl\"ange des Photons ist, elastisch gestreut. Die Rayleighstreuung ist z.B. verantwortlich f\"ur den blauen Himmel. Unabh\"angig von der Teilchendichte ist der Wirkungsquerschnitt proportional zur Kreisfrequenz hoch vier:

\begin{equation}
\sigma_{Rayleigh} \propto \omega^{4}
\end{equation}

Die mittlere Wellenl\"ange der $\gamma$-Strahlung liegt allerdings im Bereich von einigen hundert Femtometern und ist damit deutlich kleiner als Atome und Molek\"ule. Somit ist die Rayleighstreuung hier nicht relevant.

\end{description}

\subsubsection{Elektronen-Prozesse}
In unserer Simulation entstehen Elektronen im Patienten durch Ionisierung von Atomen oder durch Paarbildung aus energiereichen $\g$-Teilchen. Es m\"ussen dabei folgende Prozesse beachtet werden.

\begin{description}
\item[Ionisierung] 
Kollisionen von hochenergetischen Elektronen mit H\"ullenelektronen von Atomen f\"uhren dazu, dass diese ionisiert werden. Dabei muss die kinetische Energie der Prim\"arelektronen die Bindungsenergie der gebundenen Elektronen \"ubersteigen. Bei sehr hohen Energien kann es zu einer Kaskadierung von Ionisierungen kommen - n\"amlich dann, wenn die Energie der Sekund\"arelektronen wiederum f\"ur eine zweite Ionisierung ausreicht.

\item[Bremsstrahlung]
Geladene Teilchen emittieren elektromagnetische Strahlung bei Beschleunigung. Wenn Elektronen auf eine Kreisbahn gelenkt oder abgebremst werden, wird Energie frei. Die Strahlung ist dabei orthogonal zur Beschleunigungsrichtung, solange die Relativistik vernachl\"assigt werden kann. Anderenfalls wird die elektromagnetische Strahlung unter einem bestimmten Winkel in Ausbreitungsrichtung des Teilchens emittiert.
R\"ontgen- und $\gamma$-Strahlung werden f\"ur medizinische Zwecke \"ublicherweise durch Bremsstrahlung erzeugt, daher entspricht die spektrale Verteilung unserer Prim\"arstrahlung auch einem Bremsstrahlungsspektrum.

\item[Coulombstreuung]
Die Coulomb- oder auch Rutherford-Streuung bezeichnet den Vorgang, bei dem geladene Teilchen an geladenen Streuzentren abgelenkt werden. Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist sowohl von der Ordnungszahl der Streuzentren als auch der Energie und dem Streuwinkel abh\"angig:
\begin{equation}
\frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \left(\frac{Z}{E}\right)^{2} \cdot \sin^{-4}\left(\frac{\phi}{2}\right)
\end{equation}
Bei hoher Ordnungszahl und niedrigen Energien wird folglich stark gestreut, bei niedrigen Ordnungszahlen und hoher Energie dagegen wenig.

\item[Mehrfachstreuung]
In der Simulation kann nicht unbedingt jede einzelne Wechselwirkung simuliert werden. Daher werden Modelle verwendet, die nicht jeden einzelnen Streuprozess eines Teilchens betrachten sondern nur globale Effekte wie den Energieverlust und die Richtungs\"anderung der Teilchen berechnen.

\end{description}
\subsubsection{Positronen-Prozesse}
Positronen werden zwar nur durch Paarbildung erzeugt, werden aber von den gleichen Prozessen beeinflusst wie Elektronen. Zus\"atzlich k\"onnen diese aber auch wieder vernichtet werden.
\begin{description}
\item[Vernichtung]
Wenn ein Positron auf ein Elektron trifft, dann vernichten sich diese gegenseitig und zerstrahlen in zwei \g-Teilchen, deren Energie jeweils 511 keV (Ruhemasse von Elektron/Positron) plus eine gegebenenfalls vorhandene kinetische Energie des Elektrons/Positrons betr\"agt. 
\end{description}

\subsubsection{Verworfene Prozesse}
Bestimmte Prozesse wurden nicht in die Simulation eingebunden, da sie f\"ur uns bei der Simulation irrelevant sind.

\begin{description}
\item[Tscherenkowstrahlung]
Die mittlere Energie der \g-Strahlen betr\"agt einige MeV. Dementsprechend k\"onnen auch Elektronen durch Ionisierung von Atomen oder durch Paarbildung entstehen, deren Energie ebenfalls im MeV-Bereich liegt. Geladene Teilchen, die sich in einem Medium mit einer Geschwindigkeit bewegen, welche gr\"o\ss{}er als die Lichtgeschwindigkeit in diesem Medium ist, erzeugen Tscherenkowstrahlung. In Wasser betr\"agt die Lichtgeschwindigkeit $0,75\,c$ mit $c$ als Vakuumlichtgeschwindigkeit. F\"ur Elektronen betr\"agt damit die Schwellenenergie, ab der Tscherenkowstrahlung auftritt, 0,775 MeV.

Der Effekt der Tscherenkowstrahlung ist allerdings gering. Die Energiedeposition von Elektronen und Positronen ist durch Ionisation und Bremsstrahlung deutlich gr\"o\ss{}er, als durch Tscherenkowstrahlung. In Wasser liegt das Verh\"altnis in etwa bei 2 MeV/cm zu 400 eV/cm. Der Tscherenkoweffekt f\"uhrt somit zu einem Energieverlust, der um einen Faktor 5000 geringer ist als der von anderen Prozessen. (vgl. \cite{Po05}) % S.103 ff.

\item[\"Ubergangsstrahlung]
Beim \"Ubergang eines geladenen, hochrelativistischen Teilchens zwischen zwei Materialen mit unterschiedlichen Dielektrizit\"atskonstanten entsteht \"Ubergangsstrahlung. Die Strahlung wird dabei \"uberwiegend in Vorw\"artsrichtung emittiert. Die zwei haupts\"achlichen \"Uberg\"ange, bei denen \"Ubergangsstrahlung entstehen kann, sind die aus der Luft in den Kopf hinein und wieder heraus. F\"ur den Patienten ist nur der \"Ubergang aus der Luft in den Kopf hinein von Bedeutung. Aufgrund der geringen Anzahl an geladenen Teilchen ist dieser Prozess zu vernachl\"assigen.

\item[Szintillation]
Bei der Szintillation wird Anregungsenergie der Atome/Molek\"ule in Form von Licht wieder freigegeben. Da die jeweiligen Energien der entstehenden Photonen sehr gering sind, ist dieser Prozess f\"ur die Simulation der Bestrahlungstherapie nicht notwendig.

Zus\"atzlich wird, bei diesem und den schon erw\"ahnten, verworfenen Prozessen, die Energieerhaltung in \geant{} nicht erf\"ullt. Es würde demnach unsere Simulation in undefinierter Weise verfälschen, wenn wir diese Prozesse in die Energiedeposition im Patienten mit einbringen w\"urden. Vgl. \cite[Kap. 5.2.5]{GeantCo09}:
\begin{quote}
\selectlanguage{english}
"Processes which produce optical photons include the Cerenkov effect, transition radiation and scintillation. Optical photons are generated in GEANT4 without energy conservation and their energy must therefore not be tallied as part of the energy balance of an event."
\selectlanguage{ngerman}
\end{quote} 


\end{description}

